Yet Another Interdisciplinary Researcher

 

B'log

B'log.jpg

Graphic from internet, Anonymous.


Sep 5 2014: Human evolution

Be aware yourself. Didn't you read the J. Pickrell's article yet? It was published on NewScientist's website in 2006.


Sep 2 2014: XML base for SCOM

Let me marking today is a beginning day to construct a XML base for SCOM.

1   <scom>
2     <name>Example model</name>
3     <type>Basic</type>
4   </scom>

Funny, isn't it?


Aug 25 2014: Welcome to SCOM

I am currently working on a project, SCOM - Ontological Supply Chain Management Model, which aims to create a dynamic model for tracking and tracing product/service, members, flow and operations of a supply chain with an upper ontology.

It will hopefully let us to track any product/service and to trace its all physical, social or mental components (raw materials, parts, know-how, patents, managerial strategy etc.) efficiently.

We may use outputs of this project in the future to track or trace almost all properties in a not-usual supply chain and operations management, such as interstellar supply chains (eg. raw materials from the planet Mars), health-related supply chains (eg. blood products), food management (eg. genetic structures of agricultural products), environmental issues of production systems (eg. nuclear power usage in a production process) and protection of art and artistic materials (eg. tracing an artifact).

You can find out more info about the SCOM project, as well as basic SCOM diagrams at hkilter.com.


Simülasyon Örneği - Büfe (Kuyruk Sistemi)

Problem 1: Köşedeki büfenin müşterilerinin gelişleri, saat 15:00-16:00 arasında, Poisson dağılımına göre 28/saat geliş oranında gerçekleşmektedir. Büfede çalışan eleman ise müşterilere Exponential dağılımla saatte 30 müşteri hızında servis verebilmektedir. Büfenin 15:00-16:00 saatleri arasındaki durumunu simülasyon ile ortaya çıkaralım ve analitik modelin bize sunduğu performans ölçütleri açısından bir değerlendirme yapalım.

Analitik model 1: M/M/1 olan bu kuyruk sisteminin geliş oranı = 28/saat ve servis oranı = 30/saat ise performans ölçütleri Tablo 1′de görülebilir. Tablo 1′de görülen değerleri simülasyon sonucunda da elde etmek mümkündür ancak simülasyon adımlarının ve iterasyon sayılarının yüksek olması gerekmektedir.

Tablo 1: Kuyruk sisteminin performans ölçütleri

Simülasyon modeli 1: Belirlenen kriterlere göre (Tablo 2) 30 müşteri için (yaklaşık 1 saat) simülasyon yapılmıştır (Tablo 3) ve bazı performans ölçütleri elde edilmiştir. Simülasyon 10 iterasyon ile ortalama değerleri de göstermektedir (Tablo 4). Dikkat edildiğinde, analitik performans ölçütleriyle simülasyon sonuçları arasındaki farkları görebiliriz. Bunun nedeni, simülasyonu yeteri tekrarda yapmayışımız olabilir. Merak edenler hem simülasyon adımlarının sayısını (kuramsal olarak 1 saatten fazla aynı sistemi çalıştırmak) hem de iterasyon sayısını artırırsa sonuçların ne yönde değiştiğini görebilecekler.

Tablo 2: Açıklamalar ve simülasyon sonuçları

Tablo 3: Simülasyon

Tablo 4: İterasyonlar ve ortalamalar

Problemin Excel dosyasına bakabilirsiniz.

Problem 2: Yukarıdaki örnekteki sunucu sayısını artırdığımız durumda simülasyon sonuçları bundan etkilenecektir. Büfede çalışmak üzere, ikinci bir kişinin işe alındığını varsayalım (diğeriyle aynı hızda çalışıyor). Bu durumda yeni sistem M/M/2 olacaktır. Bu sistem için modelleri tekrar oluşturalım.

Analitik model 2: M/M/2 olan bu kuyruk sisteminin geliş oranı = 28/saat ve servis oranı = 30/saat ise performans ölçütleri Tablo 5′de görülebilir.

Tablo 5: Kuyruk sisteminin performans ölçütleri

Simülasyon modeli 2: Bu bölümde M/M/2 sisteminin simülasyonu görünüyor.

Tablo 6: 2. simülasyonun Excel sonuçları


Simülasyon Örneği - Pastane

Problem: Bir pastane günlük olarak 20 adet pasta üretmektedir. Pastalara olan günlük talep aşağıdaki olasılık dağılımı ile ortaya çıkmaktadır (Tablo 1).

Tablo 1: Talebe ait olasılık dağılımı

Pastane, pastalar için 15TL birim maliyete katlanmakta ve pastaları 30TL birim fiyatla satmaktadır. Gün içinde satılmayan pasta olursa, onları da gün sonunda yakındaki bir öğrenci yurduna 7.5TL birim fiyatla (maliyetinin altında) vermektedir. Pasta talebi günlük üretimden fazla ise satış miktarı üretimle sınırlı olacaktır, pasta talebi günlük üretimden az ise satış miktarı talep kadar olacaktır.

Pastanenin 30 günlük pasta satışı ile ilgili simülasyonunu yaparak, ortalama günlük karını hesaplayacağız.

Simülasyon Modeli 1: Yukarıdaki açıklamalara göre simülasyon aşağıdaki Tablo 2 ve Tablo 3′den izlenebilir.

Tablo 2: Simülasyon açıklamaları ve rassal sayı haritası

Tablo 3: Simülasyon

Simülasyon modeli 2: Pastanenin gün sonunda elinde kalan pastaları öğrenci yurdu vermek yerine ertesi güne sakladığını ve ertesi gün için gerçekleşen talebin en azından bir kısmını bununla tamamlamaya çalıştığını varsayalım (pastalar en fazla 1 gün dayanmaktadır). Pastane elinde kalan pastaları ertesi gün yeni ürettiği pastalarla birlikte 30TL birim fiyatla satabilmektedir. Ancak talebi karşılanamayan her birim talep için 10TL memnuniyet maliyetine katlanmaktadır. 30 günlük ortalama kar aşağıdaki gibi değişecektir.

Tablo 4: Simülasyon açıklamaları ve rassal sayı haritası

Tablo 5: Simülasyon

Simülasyonu ayrıntılı olarak incelemek için Excel dosyasına bakınız.


Simülasyon Örneği - Klima Satışları

Problem: Çeşitli soğutma ve ısıtma sistemleri satışı yapan ABC Sistem Limited Şirketi’nin satış müdürü Ahmet bey, klima satışlarındaki bir aylık ortalama maliyeti merak etmektedir. Bazı bilgiler ışığında (aşağıdaki tablolarda görülmektedir) bu maliyeti hesaplamak üzere simülasyon yapmak istemektedir. Arkadaşı olarak ona yardımcı olmamızı rica etmiş. Biz de bu simülasyonu yapacağız.

Ahmet bey deneyimine dayanarak günlük klima taleplerine (satışlar) ait aşağıdaki olasılık dağılımını belirlemiştir (Tablo 1).

Tablo 1: Talebe ait olasılık dağılımı

ABC şirketi, başlangıçta deposunda 10 adet klima bulundurmaktadır. Satışı yapılan klimalar müşterilere teslim edilmekte, stoklarda 6 veya daha az klima kaldığında ise fabrikaya sipariş verilmektedir. Siparişler 10′ar adetlik partiler halinde yapılmakta ve bu partilerin tedarik süresi aşağıdaki olasılık dağılımındaki gibi olmaktadır (Tablo 2).

Tablo 2: Tedarik süresine ait olasılık dağılımı

Örnek olarak, 4. günde 2 günlük tedarik süresine sahip bir sipariş verilirse, teslimat 7. günün başında yapılmaktadır. Siparişi verilen her parti için sipariş maliyeti 50$ olmaktadır.

Şirket gün içinde satılmayan klimalar için -klima başına- günlük 2$’lık stok maliyetine katlanmaktadır. Ayrıca satışı yapılıp müşteriye teslim edilemeyen (stokta olmadığı için) klimalar için de 30$ memnuniyet maliyetine (veya indirime) katlanmaktadır.

Analitik Model: Bu probleme ait analitik model hazırlanmamıştır.

Simülasyon Modeli: Simülasyon modeli aşağıdaki şekillerde görülmektedir.

Şekil 1: Simülasyon

Şekil 2: Rassal Sayı Haritaları ve Açıklamalar

Şekil 3: İterasyonlar ve Sonuçlar

Grafik 1: Herhangi bir simülasyon adımında ortaya çıkan stok ve talep miktarlarının değişimine ait örnek

Grafik 2: Simülasyonun 10 iterasyonu sonrasında oluşan maliyet değerlerine ait örnek

Simülasyonda kullanılan bazı önemli Excel formülleri

Günbaşı stok: B3 için (1. gün) =O10 , B4-B32 için (diğer günler) =IF(H3=0;E3+10;E3)

Günsonu stok: E3-E32 için =B3-D3

Tedarik süresi: G3 için (1. gün) =IF(E3<7;VLOOKUP(F3;$P$3:$Q$6;2);”") , G4-G32 için (diğer günler) =IF(OR(H3=0;H3=”");IF(E4<6;VLOOKUP(F4;$P$3:$Q$6;2);”");”")

Teslime kalan gün: H3 için (1. gün) =G3 , H4 için (diğer günler) =IF(OR(H3=0;H3=”");IF(G4<>0;G4;”");H3-1)

Sipariş maliyeti: I3-I32 için =IF(G3<>”";$O$11;”")

Stok maliyeti: J3-J32 için =IF(E3>=0;E3*$O$12;”")

Memnuniyet maliyeti (indirim): K3-K32 için =IF(E3<0;-E3*$O$13;”")

Simülasyonu ayrıntılı incelemek için Excel dosyasına bakınız.


Simülasyon Örneği - Bahçedeki Tavuk

Problem: Ali’nin 5m x 5m’lik bir bahçesi var (Şekil 1a). Bahçesinde tavuk besliyor. Ali herhangi bir tavuğu bahçenin tam ortasına koysa bile, tavuk bahçede dolaşarak (her hücrede 1 saat olmak üzere) belirli bir süre sonra çitlerin arasından geçerek bahçeden kaçıyor.

Şekil 1a: Başlangıç durumu - tavuk bahçenin ortasında (0,0)

Diğer bir deyişle, tavuğun bahçenin ortasına konulması durumunda, bir süre sonra Ali onu komşu hücrelerde bulabiliyor (Şekil 1b). Başlangıç durumu (0,0) noktasıdır. (x,y) değerleri K ve D için pozitif, G ve B için negatif değişim göstermektedir.

Şekil 1b: İki saat sonra - tavuk (2,-1) pozisyonunda

Ali bahçeye koyduğu tavukların ortalama kaç saatte bahçe dışına çıktığını merak ediyor. Bu problemi modelleyecek bir simülasyon yaparak bu merakını gidermek istiyor.

Problemle ilgili varsayımlar: Tavuğun bahçedeki hücreler arasındaki (her metrekare arasındaki) hareketleri dört farklı yönde olabilir: Doğu (D), Batı (B), Kuzey (K) ve Güney (G). Tavuk her adımda rassal olarak belirlenen yöne doğru hareket ediyor. Yönlerin seçilme olasılıkları birbirine eşit. Tavuk her adımda (her saatte) diğer bir hücreye geçmekte ve çapraz hareket etmemektedir.

Analitik model: Tavuk, %25′lik olasılıklarla çeşitli yönlere hareket ettiği için bahçeden kaçması için gereken minimum adım sayısı (D, D, D veya B, B, B veya K, K, K veya G, G, G) üç olacaktır. Tavuğun bahçeden üç adımda kaçma olasılığı 4 x (0.25 x 0.25 x 0.25) = 0.0625 (%6.25) olacaktır. Diğer bir deyişle tavuk bahçeden en az 3 saat sonra kaçabilecektir. Ali’nin tavuğu daha önce kontrol etmesine gerek yoktur. Analitik model karmaşık olduğu için burada belirtilmedi. İsteyen varsa kendisi uğraşabilir.

Simülasyon modeli: 100 adımlık simülasyon modeli Excel ile hazırlanmıştır. Şekil 2 simülasyonu göstermektedir. Her yön tercihinde tavuğun bahçedeki konumu bu yöne göre hesaplanmaktadır. Simülasyonun her tekrarında farklı bir kaçış süresi bulunmaktadır. Kaçma kontrolü, herhangi bir adımda tavuğun kaçıp kaçmadığını kontrol edebilmek için eklenmiştir. 100 saatten daha fazla sürede kaçabilecek tavuklar dikkate alınmamıştır, böyle durumlarda sonuç bölümünde “N/A” göreceksiniz, endişelenmeyin bu tavuklar sadık tavuklardır.

Şekil 2: Simülasyon

Şekil 3 rassal sayı haritasını göstermektedir. Her yönün tercih edilme olasılığının %25 olduğu bilinmektedir.

Şekil 3: Rassal sayı haritası

Şekil 4 simülasyonun 10 defa tekrarlandığı durumu ve genel sonucu göstermektedir. 5m x 5m’lik bir bahçeye konulan tavukların kaçtığı ortalama süreyi (veya adım sayısını) bu bölümde görebilirsiniz.

Şekil 4: İterasyon ve sonuçlar

Daha fazla eğlence için Excel dosyasına bakabilirsiniz. “F9″ tuşu simülasyonu tekrar etmek için kullanılabilir.


Simülasyon Örneği - Gofret Makinesi

Problem: Gofret üreten bir işletme, çeşitli yerlere (metro durakları, üniversiteler, alışveriş merkezleri, vb.) şekerlerinin müşteri tarafından satın alınabileceği Gofret Makineleri yerleştirmektedir. Müşteriler gofret makinelerine bozuk para atarak gofret alabilmektedir. İşletmenin bir çok yerde makinesi vardır ve bu makinelerde oluşan günlük gofret taleplerini bir olasılık dağılımı ile tespit etmiştir (Tablo 1).

P(talep=0) = 0.10 P(talep=1) = 0.15 P(talep=2) = 0.20 P(talep=3) = 0.30 P(talep=4) = 0.20 P(talep=5) = 0.05

Tablo 1 - Makinelerdeki günlük gofret talebine ait olasılık dağılımı

Tablo 1′de görüldüğü üzere 6 veya daha fazla gofret satışı hiç görülmemiştir, dolayısı ile bununla ilgili bir olasılık değeri yoktur. Makineler 80 adet gofret alabilmektedir. İşletme gofret makinelerini içindeki gofret sayısı yarıya düştüğünde (40 adet) doldurmak istemektedir.

İşletme, bu makinelerden birini yeni açılan bir süpermarkete yerleştirmek ve yeni makinenin ne zaman doldurulması gerektiği konusunda fikir sahibi olmak istemektedir. İşletmenin bu işle ilgili departman şefi bu görevi, işe yeni girmiş yönetici adayı olarak size vermiştir.

Sistemin simülasyon modelini oluşturarak, makinenin ne zaman doldurulması gerektiğine karar vermeniz istenmektedir.

Analitik model: Makinede oluşan talep, olasılık dağılımına göre günlük ortalama 2.5* kadar olacaktır. 40 gofretin boşalması için gereken süre 40 / 2.5 = 16 gündür.

  • (0.10 x 0) + (0.15 x 1) + (0.20 x 2) + (0.30 x 3) + (0.20 x 4) + (0.05 x 5) = 2.5

Simülasyon modeli: Simülasyon modelini Excel’de oluşturabiliriz. Şekil 1 bu probleme ait simülasyonu göstermektedir.

Şekil 1

Şekil 2, bu simülasyon sırasında kullandığımız olasılık dağılımını modelde kullanılabilecek haliyle sunmaktadır.

Şekil 2

Şekil 3, simülasyon sırasında kullandığımız değerleri ve simülasyon sonucunda ortaya çıkan “Doldurma Günü”nü göstermektedir.

Şekil 3

Şekil 4, simülasyon modelinin tekrarlarını ifade eden iterasyonları göstermektedir. İterasyonların altında yeralan standart sapma ve t değerleri hipotez hesti için (H=16?) kullanılmaktadır. Bu simülasyon modelinde 30 iterasyon yapılmıştır.

Şekil 4

Şekil 5 ise, beklediğimiz doldurma dünü olan 16 yerine, %95 olasılıkla güven aralığını ifade edecek haliyle bir değerle aralığı sunmaktadır. Aradığımız cevap bu bölümde bulunmaktadır.

Şekil 5

Simülasyonun Excel dosyasına da göz atmanızı öneririm.


Simülasyon Örneği - Golf Topları

Problem: Golf topları satan bir spor mağazası haftalık talepler (kutu olarak) ve bu taleplere ait olasılık dağılımını aşağıdaki şekilde oluşturmuştur. Mağazanın kutu başına 5 TL’lik kar elde ettiğini varsayalım. Bizden istenen, 200 adımlık simülasyon yaparak haftalık ortalama kar miktarı ile teorik kar miktarını karşılaştırmaktır.

Analitik Model: Bu probleme ait analitik model sonucu haftalık 35.6 kutuluk talep ve bu talebe karşılık gelen 178 TL kardır.

Simülasyon Modeli: Simülasyon modeli sonuçları aşağıdaki tablolarda görünmektedir. Simülasyon modeli ile analitik model sonuçları arasındaki benzerlik beklenen bir sonuçtur.

Şekil 1: Rassal Sayı Haritası

Şekil 2: Simülasyon

Şekil 3: Sonuçların Karşılaştırılması

Simülasyonu ayrıntılı incelemek için Excel dosyasına bakınız.


Simülasyon Örneği - Lastikçi Hasan

Problem: Yolun karşısındaki benzinliğin içinde bir lastikçi var. Bu lastikçinin sahibi Hasan bey benzinliğe gelen müşterilerin lastiklerini bir kriko ve otomatik bijon anahtarı ile değiştiriyor. Müşteriler lastikçiye 10 ile 50 dakika arasında uniform dağılım gösteren geliş aralıkları ile geliyorlar ve lastiklerini değiştiriyorlar.

Bazen bir lastik değiştirilirken bazen de lastiklerin tümünün değiştirilmesi gerekiyor. Müşterilerin isteği doğrultusunda değiştirilen lastik sayılarına ait olasılık dağılımı şu şekilde:

bir lastiğin değiştirilme olasılığı %20 2 lastiğin değiştirilme olasılığı %40 3 lastiğin değiştirilme olasılığı %5, ve 4 lastiğin değiştirilme olasılığı %35 Lastik değiştirme süreleri ise;

Bir lastik değişimi 10 dak. ile 20 dak. aralığında, 2 lastik değişimi 15 dak. ile 35 dak. aralığında, 3 lastik değişimi 20 dak. ile 40 dak. ve 4 lastik değişimi ise 25 dak. ile 50 dak. aralığında uniform dağılımla gerçekleştiriliyor.

Müşterilerin lastikler değiştirilirken sabırsızlandıkları ve bir an önce işlerini bitirip gitmek istedikleri anlaşılıyor. Hasan bey bundan dolayı saatlik olarak 10 TL müşteri memnuniyeti maliyeti ile karşı karşıya kalıyor. Hasan bey günlük olarak (20 müşteri için) katlandığı maliyeti merak ediyor.

Simülasyon Modeli: Modelde dikkat edilmesi gereken konu müşteri gelişleri ile servis sürelerinin belirli bir aralıkta uniform dağılımla gerçekleştiğidir. Uniform dağılım, simülasyonumuz için

f(x)=(x-a)/(b-a)

şeklinde veya

x=a+[y(b-a)]

şeklinde kullanılabilir. Bu durumda y rassal sayı ve x bu rassal sayı sonucunda ortaya çıkacak gelişlerarası zaman ya da servis süresi olarak oluşacaktır. Örneğin R#1=0.34 ise;

x=10+[0.34(50-10)]=10+13.6=23.6 dak.

gelişlerarası zaman bulabiliriz.

Simülasyon için hazırladığım rassal sayı haritaları şunlar:

Simülasyona göz atarsak günlük müşteri memnuniyeti maliyetlerinin oluştuğunu görebiliriz. Bu simülasyonda müşteri gelişleri ve servis süreleri için uniform dağılım kullanıldığını tekrarlamakta fayda görüyorum.

Örnek olarak birinci müşteri için Excel’in yaptığı hesaplamanın ayrıntısına bir bakalım:

Gelislerarasi Zaman=10+[0.27(50-10)]=10+10.80=20.80 dak.

Not: Buradaki değer benim kullandığım rassal sayı ()noktadan sonra 2 hane) ile Excel’in kullandığı rassal sayı arasındaki minik farktan dolayı farklı görünüyor, önemli bir konu değil.

Degistirilen Lastik Sayisi (0.07′ye uygun olarak rassal sayı haritasından seçiliyor) = 1 lastik

Servis Suresi=10+[0.07(20-10)]=10+0.7=10.70 dak.

Not: Yukarıdaki not bunun için de geçerli.

Memnuniyet Maliyeti=Müşterinin Sistemde Gecirdigi Sure x Saatlik Memnuniyet Maliyeti10.72(10/60)=1.79 TL


Simülasyon Örneği - Araç Kiralama Şirketi

Problem: Küçük bir kiralama şirketi tarımla ilgili çeşitli malzeme ve ekipmanları müşterilerine kiralamaktadır. Şirketin günlük kiralama bedeli 1,200 TL olan üç traktörü vardır. Traktörlere talep olması ancak şirketin o gün için elinde traktör olmaması halinde, müşterinin gelecek yıl için kiralamalarında kullanabileceği 1500 TL’lik indirim çeki verilmektedir. Şirket indirim çeklerinin maliyetinin kendisine maliyetinin 1200 TL olacağını tahmin etmektedir. Şirketin traktörleri kiralayamadığı günler için traktör başına 100 TL depolama ve bakım maliyetine katlandığı bilinmektedir. Şirket sahibi aşağıdaki istatistiklerin geçerli olduğunu hesaplamıştır:

Şirkete ait kiralama faaliyetlerinin simülasyonunu yapalım. (Simülasyon sırasında kullanılacak rassal sayılar verildiği için excel kullanmamıza gerek olmayacaktır)

Simülasyon Modeli: Bu simülasyon modelinde şirkete gelen traktör talebinin ne kadar olduğunu bulabilmek için rassal sayı haritası hazırlamamız gerekecektir. Taleplerin kaç günlük kiralama olarak gerçekleşeceğini bulabilmek için de ikinci RSH’na ihtiyaç duyacağız. Daha sonra simülasyonu yaparak günlük nakit akışlarını hesaplayacağız.

Bu simülasyonun Excel yerine el ile yapıldığını görebiliyoruz (rassal sayılar verilmişti), dolayısı ile bu problemle uğraşan herkesin -ben doğru yaptıysam :) – aynı sonucu bulması gerekir.


Simülasyonlarda Veri Tablosunun Kullanımı

Simülasyon örneklerinin bazılarının Excel dosyalarında nasıl hesaplandığı anlaşılamayan “İterasyonlar” bölümü bulunmaktadır. Bu bölümün nasıl oluşturulduğunu anlamaya çalışacağız.

Para atışı simülasyonunu ele alalım. Örneklem uzayında iki alternatif vardır (Yazı ve Tura), dolayısı ile %50′lik olasılıklara sahip olduklarını varsayalım. 20 atışlık simülasyon aşağıdaki gibi oluşacaktır:

İstersek atış sayısını artırarak daha net sonuçlar ortaya çıkarabiliriz. Fakat biz adım sayısını değil de simülasyonun tekrarlanma sayısını (iterasyon) sayısını artıracağız. Bunun için aşağıdaki gibi bir tabloya ihtiyacımız olacaktır:

1. İterasyon Tablosunun Hazırlanması

Dikkat ederseniz tablonun ilk satırı dolu diğerleri boş. Birinci satırda yukarıdaki simülasyon sonuçları arasındaki Yazı ve Tura sayılarını sayarak buraya yazıyoruz. Daha detaylı bilgi vermesi için sağdaki sütuna da bu iki sayının oranını yazdım. Bu oranın “1″ olması zaten analitik model sonucunda beklediğimiz bir sonuç.

2. İterasyon Tablosunun Seçilmesi

Şimdi sıra geldi veri tablosunu kullanmaya. Önce yeni oluşturduğumuz tabloda iterasyon numaralarını ve tablonun içindeki verileri seçiyoruz.

3. Veri Tablosunun Belirlenmesi

Daha sonra Data menüsünden What-if Analysis bölümünden Data Table’ı seçiyoruz.

4. Veri Tablosu Seçeneklerinin Belirlenmesi

Sonra boş olduğunu bildiğimiz bir hücreyi Column bölümüne tanımlıyoruz. Sütunu doldurup satırı boş bırakmamızın nedeni tablonun aşağıya doğru (sütun) doldurulmasını istememiz.

5. İterasyon Tablosunun Oluşturulması

Excel iterasyon tablomuzun boş olan hücrelerini ilk satırda belirttiğimiz formüllere bağlı olarak dolduruyor. Bu doldurma işleminde farklı rassal sayılar kullanıldığı için iterasyonlar birbirinden farklı sonuçlar oluşturuyor. Bizim ilgilendiğimiz bölüm ise ortalama değerler olacaktır.

Siz de deneyin, çok kolay olduğunu göreceksiniz.



References



BioB'logResearchTeaching


© 2019 H. K. Ilter